Définition

\(\triangleright\) Définition de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout \(x,y\in E\) avec le produit scalaire, on a:
$$|\langle{x|y}\rangle |\leq ||x||.||y||$$
ou
$$\langle{x|y}\rangle ^2\leq ||x||^2.||y||^2$$
Soient \(x,y\in E\) et, on sait que \(||x||^2=\langle{x|x}\rangle \)
$$||x+\lambda y||^2\qquad \lambda\in\Bbb R$$
$$\langle{x+\lambda y|x+\lambda y}\rangle $$
$$\langle{x+\lambda y|x}\rangle +\lambda \langle{x+\lambda y|y}\rangle $$
$$\langle{x|x}\rangle +\lambda\langle{y|x}\rangle +\lambda \langle{x|y}\rangle +\lambda^2\langle{y|y}\rangle $$
$$||x||^2+2\lambda\langle{x|y}\rangle +\lambda^2||y||^2$$
Or on reconnait un polynome de degré 2 en \(\lambda\) et en plus, il est supérieur à \(0\)
Alors, le polynome possède maximum une racine, alors:
$$4\langle{x|y}\rangle ^2-4||y||^2.||x||^2\leq 0$$
$$\langle{x|y}\rangle ^2\leq ||x||^2.||y||^2$$